Markets-Web.ru

В условиях нового экономического уклада в основу принятия хозяйственных решений ложится рыночная информация, а обоснованность решений проверяется также рынком в ходе реализации товаров и услуг. Таким образом, начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы математического моделирования спроса

в маркетинге.

Уровень потребления можно выразить целевой функцией потребления U = U (Y), где вектор переменных Y ≥ 0 включает разнообразные виды товаров и услуг. Свойства этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнения U (Y) = С, где С – параметр уровня целевой функции потребления (в качестве С может выступать, например, доход).

В пространстве потребительских благ уравнению U (Y) = С соответствует поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. В частности, если взять две группы товаров, например продукты питания (у1) и непродовольственные товары и услуги (у2), то уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям величины С. Вид таких кривых представлен на рис. 25.5, где С1 < С2 < С3. Термин «кривые безразличия» часто используется вне зависимости от размерности пространства потребительских благ и от количества групп товаров и услуг.

При моделировании поведения потребителей исходят из того, что при имеющемся доходе и установленных ценах потребители стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. Пусть в пространстве п видов товаров спрос потребителей выражается вектором Y = (у1, у2, ., уп), а цены представлены вектором Р = (р1, p2, ., рn). При величине дохода Z потребители могут выбирать только такие комбинации товаров, которые удовлетворяют бюджетному ограничению . Тогда простейшая модель поведения потребителей в векторной форме будет иметь вид:

Геометрическая интерпретация модели (25.63) для двух агрегированных групп товаров представлена на рис. 25.5. Линия АВ для Z = C1 соответствует бюджетному ограничению и называется бюджетной линией. Выбор потребителей при данном уровне дохода ограничен треугольником А0В. Набор товаров M1, соответствующий точке касания прямой АВ наиболее отдаленной кривой безразличия, является оптимальным решением.

Задача (25.63) в общем случае является задачей нелинейного программирования, с которой связана так называемая функция Лагранжа:

L(Y,λ) = U(Y) + λ(Z – P · Y),

где множитель Лагранжа λ является оптимальной оценкой дохода. Если обозначить частные производные функции U (Y) через Ui: , то эти производные можно интерпретировать как предельные полезности соответствующих потребительских благ, т.е. они характеризуют прирост целевой функции потребления при увеличении использования i-го товара на некоторую условную «малую единицу».

Из теории математического программирования известно, что необходимыми условиями того, что вектор Y0 будет оптимальным решением задачи (25.63), являются условия Куна – Таккера:

при этом Ui (Y0) = λ0 · рi, если уi0 > 0, т.е. товар приобретается, и Ui (Y0) < λ0 · pi, если уi0 >0, т.е. товар не приобретается.

Из условий оптимальности (25.64) следует, что потребители должны выбирать товары таким образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковым для всех приобретаемых товаров:

если

Другими словами, в оптимальном наборе предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.

Функциями покупательского спроса (функциями спроса)

называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги от влияющих на него факторов. Рассмотрим их построение в зависимости от двух факторов: дохода и цен. Будем в модели (25.63) цены и доход рассматривать как меняющиеся параметры. Тогда решением оптимизационной задачи (25.63) станет векторная функция Y0 = Y0(P, Z), компонентами которой являются на определенный товар от цен и дохода: yi0fi(P,Z).

Рассмотрим частный случай, когда вектор цен остается неизменным, а изменяется только доход. Для двух групп товаров этот случай представлен на рис. 25.5. Если по оси абсцисс отложить количество единиц товара у1, которое можно приобрести на имеющийся доход Z (точка В), а по оси ординат – количество товара y2 той же стоимости (точка А), то прямая линия АВ, называемая бюджетной линией, показывает любую комбинацию количеств этих двух товаров, которую можно купить за сумму денег Z. При увеличении дохода бюджетные линии перемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия.